看了知乎上数学方面的能力如何培养的问题。将《线性代数应该这样学》这本书的目录归纳了一下。
1.1. 教材
第一级：
1.《线性代数应该这样学》
- 第 1 章给出了向量空间的定义，并且阐述了它们的基本性质.
- 第 2 章定义了线性相关、张成、基、维数，并给出了有限维向量空间的基础理论.
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1.1. 教材
第一级：
1.《线性代数应该这样学》
- 第 1 章给出了向量空间的定义，并且阐述了它们的基本性质.
- 第 2 章定义了线性相关、张成、基、维数，并给出了有限维向量空间的基础理论.
- 第 3 章引入了线性映射. 这一章的主要结果是，线性映射的零空间的维数加上值域的维数等于定义域的维数.
- 第 4 章给出了多项式的部分理论，这是理解线性算子所必需的. 试着把本章所有证明都研究一遍（本章没有线性代数内容），那么线性代数某些重要内容可能就没时间研究了. 熟悉多项式的这些定理的话，试着只看结果的陈述而不是证明，当然或许你会好奇，这也是本书包含这些证明的原因.
- 第 5 章引入了本征向量，这源自将线性算子限制到更小的子空间上来研究的思想. 本章精彩之处是复向量空间上本征值存在性的简洁证明. 我们还利用这个结论，证明了复向量空间上的线性算子关于某个基上有三角矩阵. 用类似的方法，证明了实向量空间上的线性算子都具有 1 维或 2 维的不变子空间，并利用此结果，证明了奇数维实向量空间上的线性算子都有本征值. 我们的这些证明都不需要定义行列式和特征多项式.
- 第 6 章定义了内积空间，阐述了他们的基本性质并介绍了一些标准工具，如规范正交基、格拉姆-施密特正交化过程以及伴随. 本章还介绍了如何利用正交投影来解某些极小化问题
- 第 7 章的精彩之处是谱定理，它刻画了本证向量可以组成规范正交基的线性基子. 有了前几章的工作，本章的证明都特别简单. 这一章还讨论了正定算子、线性等距同构、极分解以及奇异值分解.
- 第 8 章引入了极小多项式、特征多项式以及广义本征向量，主要成果是用广义本征向量来描述向量空间上的线性算子. 利用这个描述可以证明出几乎所有通常要使用 Jordan 形来证明的结果. 例如，用这些工具我们证明了复向量空间上的线性算子都有 Jordan 形.
- 第 9 章的核心是实向量空间上的线性算子. 此类算子可能没有本征值，而 2 维不变子空间弥补了这一不足，从而可以得到与复向量空间类似的结果.
- 第 10 章中，我们利用特征多项式给出了迹和行列式的定义（前面定义特征多项式时并未使用行列式），在复向量空间上，这些定义还可以用另一种方式来陈述：迹是所有本征值之和，行列式时所有本征值之积（两种情况都有计重数），传统的处理方法是利用行列式来证明本征值的存在性，这不可能得到这些好记的定义. 我们现在的处理方法也使得行列式的一些标准定理变得更加清楚. 我们利用极分解和自伴算子的刻画导出了多重积分的换元公式，这就使得行列式在其中的出现看起来非常自然.
通过取 F 表示实数域或复数域，本书经常同时发展实向量空间和复向量空间上的线性代数理论. 也可以采用抽象的域，但这只会增加抽象性而不会导出线性代数的人和新内容. 只考虑实数和复数的另一个理由是，可视多项式为真正的函数，而不必像在有限域上那样把多项式看作更形式化的对象. 最后还有一点，即使理论的开始部分可以在任意域上展开，但是内积空间还是会把我们的讨论拉回到实向量空间和复向量空间.
卓里奇《数学分析（两册）》（读英文版吧，不难。有知友说这个还是不太简单，那你可以先看个国内教材，然后回过头来再看这个）
复旦大学《概率论》
